华东师大2011课标版《26.3实践与探索》优质课教案设计

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复习难点：“存在性问题”探究策略的选择．

复习过程：

一、问题预热

如图1，二次函数 EMBED Equation.3 的图像与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．设 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ．

（1）求点A、B、C的坐标；

（2）在线段AB上是否存在点P，使得∠PCB=∠BAC？如果存在，求出P点坐标；如果不存在，说明理由．

【思考1】此类问题的一般思路是什么？

【点评】“是否存在A，使满足B”，A是条件，B是结论．“假设B存在，由B→A”是逆命题，“由B得到了A”不一定“由A得到B”，必须证明A→B．如第（2）问求出点P坐标后要证明P的坐标使得∠PCB=∠BAC．由于几何问题大多可逆，最后要写上“以上步骤步步可逆”．这是常见的存在性问题．

二、问题探究

【问题1】如图2，在题根基础上，点P从A点出发沿AB向B运动，点Q从C点出发沿CA向A运动，点P、Q同时出发，速度都是每秒1个单位长度，当其中一个点到达端点时另一个点即停止运动．是否存在点P，使得△APQ的面积为3？若存在，请求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．

【点评】（1）问题（1）先假设结论存在，最后得到矛盾，说明结论不存在，实质上是反证法的思想．（举例）；

【思考2】问题（1）与变式①可否有其他方法？（函数法、方程法）

【点评】用函数解决最大最小问题是一种常用方法．

【思考3】在点P、Q运动时，图形有哪些变化？能否将该“△APQ的面积为3”进行变式？（在老师引导下学生自主提出问题并讨论，教师视情况列出各种可能）

变式①：将△APQ的面积为 （自己选择一个合适的值）；

变式②：△APQ的面积最大；

变式③：PQ⊥AC；

变式④：C、O、P、Q四个点在同一个圆上；

变式⑤：△APQ∽△AOC；

变式⑥：以A、P、Q为顶点的三角形是直角三角形；

变式⑦：以A、P、Q为顶点的三角形与△AOC相似；

变式⑧：以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形；

【点评】由点的运动导致图形的不确定，因此需要分类，分类要不重不漏，即分层有序．如变式⑧第一层次按边分AP为底和腰两种情形．（以上变式视课堂情况而定）

【问题2】：将变式⑧改为“试猜想：是否存在点P，使得以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请举例验证你的猜想；若不存在，请说明理由．”

【思考4】问题“举例验证”的含义是什么？问题如何思考？