湘教2003课标版《9.3.2等比数列的前n项和》优质课教案设计

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掌握裂项求和法。

把某些既非等差数列，又非等比数列的数列化归成等差数列或等比数列求和．寻找适当的变换方法，达到化归的目的．

【教学方法】

讲授、自主学习、分组讨论

【教学过程】

一、自主学习

1．(必修5P47B组T4改编)数列{an}的前n项和为Sn，若an＝，则S5等于(B　)

A．1 B. C. D.

2．(必5P61A组T4(3)改)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝－(x≠0且x≠1)

3．若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　C　)

A．2n＋n2－1 B．2n＋1＋n2－1

C．2n＋1＋n2－2 D．2n＋n－2

4．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10＝(　A　)

A．15 B．12 C．－12 D．－15

二、重点突破

考点：裂项相消法求和

　　【典例】　(2017·开封模拟)设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S－(n2＋n－3)·Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N。

(1)求a1的值；

(2)求数列{an}的通项公式；

(3)证明：对一切正整数n，有＋＋…＋<。

【解析】　(1)S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N。

令n＝1，有S－(12＋1－3)S1－3×(12＋1)＝0，

可得S＋S1－6＝0，解得S1＝－3或2，即a1＝－3或2，又an为正，所以a1＝2。

(2)由S－(n2＋n－3)Sn－3(n2＋n)＝0，n∈N可得，(Sn＋3)(Sn－n2－n)＝0，

则Sn＝n2＋n或Sn＝－3，又数列{an}的各项均为正数，