选修4-2矩阵与变换《2.5特征值与特征向量》优质课教案下载

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三、设计思想

紧扣教材，层层深入，设置台阶，在学生的最近发展区帮助学生理解。

四、教学目标：

掌握矩阵特征值与特征向量的定义，能从几何变换的角度说明特征向量的意义。理解特征向量的存在性和不唯一性，理解并掌握用行列式的方法求二阶矩阵的特征值与特征向量。培养学生质疑，释疑的能力。

五、教学重点和难点

重点是二阶矩阵的特征值与特征向量的求解。

难点是矩阵特征值与特征向量的概念的理解，行列式的应用。

六、教学过程设计

（一）知识准备、新课引入

1、在学习第2.2.2节的伸压变换时，我们知道矩阵M= 对应的伸压变换把弹簧向下压缩为原来的一半，对应的变换为T : ，考察点（1，0）（0，1）对应的向量在矩阵作用下的改变，向量 没有改变，向量 方向没有改变，而长度变为原来的一半。因此向量 与 变换后与各自的原象共线。

【设计意图：由伸压变换引入矩阵的特征值与特征向量的定义比较直观】

2、填空：矩阵 对应的变换也使变换后向量 与 与各自的原象

3、（板书）定义：设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个________，α称为A的一个属于特征值λ的一个__________．

【分析：像这样从几何变换的角度引出特征值和特征向量的概念，一方面使学生对概念易于接受但容易让学生误以为特征向量就是 与 ，或者是它们的实数倍，所以此时需要设置一定的台阶加深概念的理解】

（二）设置台阶

1.、从几何变换的角度直接给出矩阵 的特征值和特征向量

2、已知矩阵M= ,向量 , , ,计算M ,M ,M ,并根据计算结果回答： ， ， 中是矩阵M的特征向量的是哪些？相应的特征值是多少？

【学情分析：对于问题1我们可以补充说明常见的平面变换中恒等变换，伸压变换，投影变换三类可以直接求出特征值和特征向量，但更多的平面变换他们的特征值和特征向量难以直接看出，如问题2，那么怎么求出来呢？是否一定有解呢？】

（三）例题讲解

例题1、 求出矩阵A= 的特征值和特征向量

根据定义可设存在实数 对于非零向量 ，有A = ,即 = ，列成方程组 所以当 =1时， 当 =-1时 所以矩阵A的两个特征值为1和-1，当 =1时取其一个特征向量 ，当 =-1时取其一个特征向量 。

【学情预设：这是根据定义学生最容易想到的求解方法，但教材中并没有采用，而是用的二阶行列式，这造成了很多学生的不解，对于一群没有高阶行列式知识准备的高中生来说，这是无法顺利接受的，所以不妨把这一段过程展示在学生面前之后再提出如果去解一个高阶矩阵的特征值和特征向量的话，要解多元方程组就有些繁琐，所以我们用行列式这个工具来试试】

【另辟蹊径】：将方程组 的解重新考虑，由于 为非零向量，所以行列式 ， -1=0， =1或-1. 以当 =1时，代入方程组得 当 =-1时代入方程组得 ；所以当 =1时取其一个特征向量 ，当 =-1时取其一个特征向量 。

【设计意图：重新解读教材，为学生搭建理解的平台】

【归纳题型】进一步，（板书）对于矩阵 的特征值和特征向量的求解，我们可以先由行列式f(λ)＝ eq ﹨b﹨lc﹨|﹨rc﹨|(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(λ－a　－b,－c　λ－d)) （称为A的特征多项式）= - 得到特征值。