苏教2003课标版《2.5特征值与特征向量》公开课教案下载

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教学重点：二阶矩阵的特征值与特征向量的求法。

教学难点：二阶矩阵的特征值与特征向量的理解。

教学方法：启发式教学（学进去讲出来）

教学过程：

一、 预习先学：

（1）学生先自主学习教材，然后讨论并解答下列问题：

问题：已知伸压变换矩阵M= , 向量α= 和β= 在M对应的变换作用下得到的向量 和 分别与 有什么关系? 对伸压变压矩阵N= 呢?

（2）归纳：

①特征值与特征向量定义：设 是一个二阶矩阵，如果对于实数 ,存在一个非零向量 ，使得 , 那么称 为 的一个特征值,而 称为 的属于特征值 的一个特征向量.

②特征向量的几何意义：特征向量的方向经过变换矩阵 的作用后，保持在同一条直线上，这时特征向量或者方向不变（ ），或者方向相反（ ），特别 地 ，当 时，特征向量就变成了零向量.

二、建构数学

特征值与特征向量求解

1. 特征多项式:设 是二阶矩阵 的一个特征值，它的一个特征向量为 ，则

，即 满足二元一次方程组 ， （）

由特征向量的定义知 ，因此 不全为0，即要上述二元一次方程组有不全为0的解，则必须有 ，即 ，把行 列式

称为 的特征多项式.

2. 特征 值与特征向量求解方法

第一步：写出矩阵 的 特征多项式 ;

第二步：求方程 的根,即为矩阵特征值;

第三步：将 的值代入二元一次方程组 ，得到特征向量.

注: 如果向量α是属于λ的特征向量, 那么tα(t∈R , t≠0)也是属于λ的特征向量.

三、例题讲解

例1．求矩阵A= 的特征值和特征向量。怎样从几何直观的角度加以解释？

跟踪训练．1求矩阵A＝ eq ﹨b﹨lc﹨[﹨rc﹨](﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(8　－5,6　－3)) 的特征值与特征向量．

例2已知矩阵M= ,计算 ,从几何直观的角度加以解释？