必修2《4.3.2空间两点间的距离公式》精品优质课教案设计

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2.通过探究空间两点间的距离公式,灵活运用公式,初步意识到将空间问题转化为平面问题是解决问题的基本思想方法,培养类比、迁移和化归的能力.

3.通过棱与坐标轴平行的特殊长方体的顶点的坐标,类比平面中两点之间的距离的求法,探索并得出空间两点间的距离公式,充分体会数形结合的思想,培养积极参与、大胆探索的精神.

三、重点难点

教学重点：空间两点间的距离公式.

教学难点:一般情况下,空间两点间的距离公式的推导.

四、教学过程

导入新课

思路1.距离是几何中的基本度量,几何问题和一些实际问题经常涉及距离,如飞机和轮船的航线的设计,它虽不是直线距离,但也涉及两点之间的距离,一些建筑设计也要计算空间两点之间的距离,那么如何计算空间两点之间的距离呢?这就是我们本堂课的主要内容.

思路2.我们知道,数轴上两点间的距离是两点的坐标之差的绝对值,即d=|x1-x2|；平面直角坐标系中,两点之间的距离是d= .同学们想,在空间直角坐标系中,两点之间的距离应怎样计算呢？又有什么样的公式呢？因此我们学习空间两点间的距离公式.

探究一：

①长a，宽b，高c的长方体的体对角线长为多少？

②设A(x,y,z)是空间任意一点,它到原点的距离是多少？应怎样计算？

③在空间中方程x2+y2+z2=r2表示什么图形？

探究二;

④如果是空间中任意一点P1（x1，y1，z1）到点P2（x2，y2，z2）之间的距离公式会是怎样呢？

⑤在空间直角坐标系中，点P(x1,y1,z1)和点Q(x2,y2,z2)的中点坐标(x,y,z)则有？

活动：学生回忆,教师引导,教师提问,学生回答,学生之间可以相互交流讨论,学生有困难教师点拨.教师引导学生考虑解决问题的思路,要全面考虑,大胆猜想,发散思维.①学生回忆学过勾股定理数学知识,推导出体对角线的过程；②解决这一问题,可以采取转化的方法,转化成刚学会的立体几何知识来解；③首先考虑问题的实际意义, 大胆类比和猜想。④回顾平面直角坐标系中,两点之间的距离公式,可类比猜想相应的公式；⑤回顾平面两点之间的中点坐标公式,猜想空间两点之间的中点坐标公式。

讨论结果：① ②

③在空间中，到定点的距离等于定长的点的轨迹是：以原点为球心，半径长为 r 的球面

图1

分析过程：对于②如图1,设A (x,y,z)是空间任意一点,过A作AB⊥xOy平面,垂足为B,过B分别作BD⊥x轴,BE⊥y轴,垂足分别为D,E.根据坐标的含义知,AB=z,BD=x,BE=OD=y,由于三角形ABO、BOD是直角三角形,所以BO2=BD2+OD2,AO2=AB2+BO2=AB2+BD2+OD2=z2+x2+y2,因此A到原点的距离是d= .

③平面直角坐标系中的方程x2+y2=r2表示以原点为圆心,r为半径的圆;在空间x2+y2+z2=r2表示以原点为球心,r为半径的球面;后者正是前者的推广.

图2

④如图2,设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,我们来计算这两点之间的距离.

我们分别过P1P2作xOy平面的垂线,垂足是M,N,则M(x1,y1,0),N(x2,y2,0),于是可以求出|MN|= 再过点P1作P1H⊥P2N,垂足为H,则|MP1|=|z1|,|NP2|=|z2|,所以|HP2|=|z2-z1|.在Rt△P1HP2中,|P1H|=|MN|= ,根据勾股定理,得|P1P2|= = .因此空间中点P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)之间的距离为|P1P2|= .