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人教B版数学选修4-5 不等式选讲《第二章 柯西不等式与排序不等式及其应用 2.1 柯西不等式 2.1.1 平面上的柯西不等式的代数和向量形式》优质课ppt课件
A
利用柯西不等式求最值
素材1
二 应用柯西不等式证明不等式
练习：已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a，又正数p，q，r满足p＋q＋r＝a，
求证：p2＋q2＋r2≥3.
证明:
因为f(x)＝|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，
即函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a＝3，所以
p＋q＋r＝3.
由柯西不等式得(p2＋q2＋r2)(1＋1＋1)≥(p＋q＋r)2＝9，
于是p2＋q2＋r2≥3.
证明 由柯西不等式及题意，得
≥(x＋y＋z)2＝27.
又(x＋2y＋3z)＋(y＋2z＋3x)＋(z＋2x＋3y)
练：
证明
＝(a1＋a2＋…＋an)2＝1，
练：设a1＞a2＞…＞an＞an＋1，
求证：
证明 为了运用柯西不等式，将a1－an＋1写成a1－an＋1＝(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)，于是[(a1－a2)＋(a2－a3)＋…＋(an－an＋1)]· ≥n2＞1.
即(a1－an＋1)· ＞1，
素材2
练习：
13．边长为a，b，c的三角形ABC，其面积为 ，外接圆半径为1，若 ， ， 则s与t的大小关系是________．