八年级下册（2013年10月第1版）《数学活动》优质课教案下载

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一、复习引入:

最短路径问题：

1.两点的所有连线中， 最短。简单说成 。

2.连接直线外一点与直线上各点的所有线段中， 最短。简单说成 。

本节课，利用以上知识及轴对称、平移等变化解决实际问题中的最短路径问题。

二．学习探究

（一）问题一：求直线异侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要连接这两点，与直线的交点即为所求．

已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB最小。

问题二：运用轴对称解决距离最短问题

求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题，只要找到其中一个点关于这条直线的对称点，连接对称点与另一个点，则与该直线的交点即为所求．

相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：

从图中的A地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？

精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能将这个问题抽象为数学问题吗？

追问1　这是一个实际问题，你打算首先做什么？

追问2　你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？

问题3　你能用所学的知识证明AC ＋BC最短吗？

反思小结：运用轴对称变换及性质将不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，然后用“两点之间线段最短”解决问题．

跟踪训练：1、要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水（如图）。 修在河边什么地方，可使所用水管最短？试在图中确定水泵站的位置。

2． 如图，小河边有两个村庄A，B，要在河边建一自来水厂向A村与B村供水．

(1)若要使厂部到A，B村的距离相等，则应选择在哪建厂？

(2)若要使厂部到A，B两村的水管最短，应建在什么地方？

（三）问题三：利用平移确定最短路径选址

如图，从A地到B地经过一条小河(河岸平行)，今欲在河上建一座与两岸垂直的桥，应如何选择桥的位置才能使从A地到B地的路程最短？

反思小结：解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法将河的宽度为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．由两点之间线段最短(或三角形两边之和大于第三边)可知，求距离之和最小问题，就是运用等量代换的方式，把几条线段的和想办法(如利用轴对称或平移等)转化在一条线段上，从而解决这个问题．

三、总结梳理，内化目标