《探究2“最大利润”》优质课教案下载

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二次函数是描述现实世界中变量之间关系的重要数学模型．对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，那么就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决．这一问题探究过程，不仅仅体现模型思想，更是培养“数学建模”这一数学核心素养的重要过程．

本节课是在学生学习二次函数的图象和性质的基础上，依托运用二次函数的最大（小）值解决小球运动“最大高度”和矩形场地“最大面积”问题的经验，运用结论解决又一类典型的实际问题——“最大利润”问题．通过探究定价（涨价、降价）与利润两个变量之间的关系，引导学生用适当的函数分析问题和解决问题，并从实际问题中抽象出函数解析式，进一步明确数学建模的过程和方法，体会函数模型在解决实际问题中发挥的重要作用．

基于以上分析，确定本节课的教学重点是：从实际问题中抽象出二次函数模型并运用二次函数的最大（小）值解决“最大利润”问题．

目标和目标解析

目标

（1）能够从“最大利润”问题中归纳抽象出二次函数模型．

（2）能够根据实际问题确定自变量的取值范围．

（3）能够运用结论确定所建立的二次函数的最大（小）值，从而解决“最大利润”问题．

目标解析

达成目标（1）的标志是：学生能够准确的把握“最大利润”问题中定价（涨价、降价）与销量，定价（涨价、降价）与单位利润的关系，并从实际问题中建立相应的一次函数模型，并根据“单位利润×销量＝总利润”来明确定价（涨价、降价）与总利润之间的数量关系，从而准确的抽象并建立相应的二次函数模型．

达成目标（2）的标志是：能够根据实际问题中相关量（定价、销量、利润等）的实际意义列出不等式（组）并求解，进而确定自变量的取值范围．

达成目标（3）的标志是：对建立的二次函数 ，在自变量取值范围内，能够进一步运用“当 时，函数有最大（小）值 ”的结论来确定实际问题的最优解，解决“最大利润”问题．

教学问题诊断分析

学生原有的知识基础中主要有两部分内容为本课的教学奠定重要的认知基础：

（1）二次函数的概念、图象和性质，以及确定二次函数 最大（小）值的结论；

（2）建立方程（一元一次方程、二元一次方程（组）、分式方程、一元二次方程等）、不等式（一元一次不等式（组））和函数（一次函数、二次函数等）数学模型解决实际问题的经验，其中第1课时探究小球运动“最大高度”问题和矩形场地“最大面积”问题的活动经验成为本课利用二次函数解决“最大利润”问题的直接经验．

本节应用二次函数探究“最大利润”问题，要求学生选取合适的函数来分析问题、表征问题，在准确把握定价（涨价、降价）与销量、定价（涨价、降价）与单位利润的两个一次函数及其与利润之间数量关系的基础上，抽象建立二次函数模型，将实际问题转化为确定二次函数的最值问题，这一研究过程，对学生来说难度较大．

此外，建立二次函数模型解决实际问题需要根据实际问题中相关量（定价、销量、利润等）的实际意义来确定自变量的取值范围，并在自变量取值范围内确定二次函数的最值，这一关键环节容易被学生忽视，对于学生也具有一定的挑战．

基于以上分析，本节课的教学难点是：将实际问题转化成二次函数问题以及确定自变量取值范围．

教学过程设计

1．复习旧知，回顾学路

问题1：上节课，我们学了什么？怎么学的？

师生活动：教师提出问题，媒体呈现思考问题（如图1）．学生回顾上节课所学知识内容和学习探究过程，回答：上节课，我们学习了如何利用二次函数解决实际问题．借助二次函数的图象和性质，数形结合地解决了小球运动“最大高度”问题，并由此得到重要结论：当 时，y有最大（小）值 ．接下来，我们利用这一结论解决了矩形场地“最大面积”问题．

教师追问1：我们又是如何具体的解决矩形场地“最大面积”问题的呢？

师生活动：学生回顾探究过程，回答问题：通过分析实际问题，列出矩形场地面积S与其一边l之间的二次函数解析式，并且根据矩形的边长大于零来确定自变量l的取值范围，然后在自变量的取值范围内，运用结论求出这个二次函数的最大值，从而解决了矩形场地“最大面积”问题．