苏教2003课标版《1.5.1二项式定理》新课标优质课教案设计

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教学重点：二项式定理及其展开式的通项公式

教学难点：二项式定理的证明

教学过程：

一、问题情境

师：今天是星期一，今天是第一天，那么第810天是星期几？

师：要解决这一问题，需要考虑怎样的问题？

生：需要考虑810除以7的余数是多少？

师：对810 作怎样的处理呢？

生：将810 写成(1＋7)10，即考虑(1＋7)10除以7的余数是多少？

师：我们需要关心(1＋7)10的展开式是怎样的？更为一般的，我们要关心

(a＋b)n的展开式是怎样的？我们下面就来研究(a＋b)n(n=1，2，3，……)的展开式是怎样的？

你想怎么研究？请说说你的研究方案.

二、学生活动

生：我想先研究n=2，3，4这些特殊的情形，看看有没有什么特征或者规律，然后再研究一般的情形.

师：非常好，刚才该同学的想法体现了从特殊到一般的思想方法.

师：n=2时，(a＋b)2＝(a＋b)(a＋b)＝aa＋ab＋ba＋bb＝a2＋2ab＋b2，

生：根据多项式的乘法法则，我发现，合并同类项之前，展开式的每一项都是从两个括号内各取一个字母的乘积，合并同类项后，由于每一项系数均为1，所以，每一项的系数就是合并前这个项的个数，即得到这个项的方法数．

师：n=3时，(a＋b)3＝(a＋b)(a＋b)(a＋b)＝(aa＋ab＋ba＋bb)(a＋b)

＝aaa＋aab＋aba＋abb＋baa＋bab＋bba＋bbb

＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3．

生：根据多项式的乘法法则，我也发现，合并同类项之前，展开式的每一项都是从三个括号内各取一个字母的乘积，合并同类项后，由于每一项系数均为1，所以，每一项的系数就是合并前这个项的个数，即得到这个项的方法数．

师：请根据(a＋b)2，(a＋b)3的展开结果猜测(a＋b)n的展开式是怎样的？

生：(a＋b)n＝__an＋__an－1b＋__an－2b2＋…＋__an－rbr＋…＋__bn (n∈N)．

师：很好，请结合(a＋b)2，(a＋b)3的展开过程探究并验证上述展开式，

建议结合以下两个问题探究.