北师大2003课标版《7.3球的表面积和体积》精品优质课教案设计

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三、教学目标

知识与技能：1.理解球的截面、切线等相关性质。

2.熟练掌握并能灵活运用球的表面积、体积公式。

3.初步理解并解决所学常见几何体的切接问题。

过程与方法：1.学生在老师的启发下，理解球的表面积和体积公式的推导。

2.在解决实际问题的过程中，强化学生对球的表面积公式和体积公式的应用和对球体与其他几何体的切接问题的理解，将对公式的简单记忆内化为解决问题的能力。

情感态度价值观：通过不断提出问题，解决问题，体会数学在生活中的应用无处不在，培养学生将所学知识应用于实践解决问题的思维习惯。

四、课型：新授课

五、课时：《简单几何体的再认识》的第三课时

六、教学重点：球的表面积、体积公式的应用

七、教学难点：球与其他几何体的切接问题

八、教具或学具：球体模型，正方体的内切球、棱切球、外接球模型，三棱锥、三棱柱、圆锥、圆柱内切球模型（学生制作的实体模型和学生制作的电脑三维模型）

九、教学方法：引导思维让学生了解球表面积和体积公式的验证，问题导向引领学生应用公式解决实际问题。

十、教学过程：

（一）导入新课

我们之前学习了柱锥台体的表面积和体积公式，同学们也都会用了，今天咱们来研究一个生活中随处可见的几何体——球。对于球，大家可能是既熟悉又陌生，因为从开始学习起，同学们就开始玩各种球类的运动，认识太空中的各种天体，还有夏天我们都爱吃的冰淇淋球，但是，你随处可见的球，你真的对它了解吗？今天，我们就来一探究竟。

（二）新课讲授

1. 认识球的相关概念，重塑对球的认识

球体我们在之前学过了，是一个旋转体，由一个半圆面绕其直径旋转而得球体，简称球，因此，对于一个球来说，我们用一个平面去截它，得到的截面一定是一个圆面，如果我们用平面去截一个球面，得到的就是一个圆，如果截面过球心，则得到的叫大圆，如果截面不过球心，得到的叫小圆。请问大家，过球面上不同的两个点，能做多少个小圆？（无数个），能做多少个大圆呢？（一个或无数个）球心与小圆圆心的连线必垂直于该小圆。过球外一点能做球的无数条切线，并且这些切线段都相等，所有的切线段组成了一个圆锥的侧面。

2.球的表面积和体积公式

那么对球有了一定的认识之后，跟之前的几何体一样，我们需要了解球的表面积和体积公式，同学们预习了都知道，球的表面积公式是S=4πR2，我们现在所学的知识还不能系统得推导这个公式，但是大家可以思考一下怎么验证这个公式，曾经在电视上，我看到了一个初一的小女孩，设计了一个小发明，就验证了这个公式，请大家看一看（放视频）。视频中的小姑娘从小学二年级就开始设计发明，截至节目播放的时候，已经取得了15项实用新型的专利，很厉害，同学们也要向她学习，不断挑战自己。其实，她的发明所用的原理很简单，跟咱们听过的“曹冲称象”的故事很像，大象太大了，没办法放在秤上，就找了一样重的碎石头替代称重，这里球表面积我们遇到最大的问题是球表面不能像之前学过的柱体和锥体一样有展开图，那么这位曹雨晴同学也运用“化整为零”的思想，将表面对应成小铁球，然后重新组合成为四个大圆，印证了球的表面积公式。

球的体积公式又如何验证呢？可以看到底面半径和高都为R的圆锥，圆柱，和半球体，根据图形，大致可以看出来，半球体的体积介于圆锥和圆柱之间，由公式可以得到圆锥和半球的体积之和等于圆柱的体积，如果能验证了这个等量关系，就证明了我们的球体积公式，所以可以怎么做呢？（倒水或者沙子验证）请看视频验证。

对于球体积公式还有很多很多的验证方法，比如类比割圆术，比如祖暅原理等。感兴趣的同学可以下课去了解。

（三）典例应用

有了球的表面积和体积公式，我们就可以解决生活中的很多问题，下面咱们重点来应用这两个公式。马上就要到夏天了，小李同学想要开一个甜品店，遇到了以下问题，请同学们帮她解决一下。