选修4-5不等式选讲《3.三个正数的算术-几何平均不等式》优质课教案设计

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教学重、难点

重点：三个正数均值不等式定理的应用；

难点：解题中的转化技巧。

教学过程：

温故知新：两个正数的均值不等式

引入新课：猜想对于3个正数如果 ，那么 （当且仅当 时取“=”）是否成立？

探究1a、b、c∈R+, 那么a3+b3+c3≥3abc, 当且仅当a=b=c时, 等号成立即可（参考公式: (a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3; a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)）

证明:

对上述结果作简单的恒等变形，就可以的到

定理3 如果 ，那么 ，当且仅当 时取“=”

语言表述： 三个正数的算术平均不小于它们的几何平均. (2)定理3可变形为：①abc≤( eq ﹨f(a＋b＋c,3) )3；②a3＋b3＋c3≥3abc

推广： ≥

语言表述：

上述重要不等式有着广泛的应用，例如：证明不等式，求函数最值，判断变量或数学式子的取值范围等等 它们涉及到的题目活，变形多，必须把握好凑形技巧 今天，我们就来进一步学习均值不等式的应用.

例1：已知x、y、z∈R+, 求(x+y+z)3≥27xyz

例2 将一块边长为 的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其容积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？

解：设切去窃取的正方形边长为x,无盖方盒子的容积为V,则

（师生共同总结此题规律。）

例3 求函数 （x>0）的最小值?

解:f(x)＝2x2＋ eq ﹨f(3,x)

＝2x2＋ eq ﹨f(3,2x) ＋ eq ﹨f(3,2x) ≥3 eq ﹨r(3,2x2·﹨f(3,2x)·﹨f(3,2x))

＝ eq ﹨f(3,2) eq ﹨r(3,36) ，

当且仅当2x2＝ eq ﹨f(3,2x) ＝ eq ﹨f(3,2x) ，即x＝ eq ﹨f(﹨r(3,6),2) 时取等号，此时函数取最小值 eq ﹨f(3,2) eq ﹨r(3,36) .

（师生共同总结此题规律。）

课堂练习：1．函数y＝x2·(1－5x) eq ﹨b﹨lc﹨(﹨rc﹨)(﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(0≤x≤﹨f(1,5))) 的最大值为？