《3.三个正数的算术-几何平均不等式》优质课教案下载

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教学设计

设计意图师生活动复习引入：

基本不等式：如果 那么

当且仅当 时成立复习旧知识，让学生容易进入新课的学习。

请学生作答。二、讲授新课

思考：基本不等式给出了两个正数的算术平均与几何平均的关系，这个不等式能否推广呢？例如，对于3个正数，会有怎样的不等式成立？使学生在已有知识和经验的基础上，探索新知。

学生回顾，并回答。类比基本不等式的形式，我们猜想：

对于3个正数 可能有：

如果 R+，那么有 ，

当且仅当 时，等号成立。

证明：（课堂内不作要求，有兴趣的同学可以在课外研究。）

引导学生进行类比、猜想，得出一般的结论。尽可能的让学生进行类比、猜想，学生猜想的结果可能会很多，可一一让学生展示交流。定理：如果 R+，那么有 ，

当且仅当 时，等号成立。

这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式

注：

１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。

2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。

事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：

即：n个正数的算术—几何平均不等式：

。

学生思考，教师引导。三、例题：

例1：已知一矩形的面积为定值S，求该矩形的周长的最小值。

变式：已知一长方体的体积为定值V,求长方体的所有棱长之和的最小值。

例2：已知长方形的周长为l，则面积的最大值为多少？

变式：已知长方体的所有棱长之和为定值l ，则体积V的最大值为多少？