人教A版2003课标版《2.3数学归纳法》精品优质课教案设计

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1．学生已有的经验和基础．(1)学生已有数学归纳法的萌芽和相关经验．虽然学生没有正式学过数学归纳法，但小学的数数、找一列数的规律、高中等差数列和等比数列通项公式的推导过程等等，都蕴含着数学归纳法的萌芽和基础．(2)学生已经有用具有代表性的元素来代替任意的、无穷多的元素的经验．如在线面垂直的定义和证明中，用“平面内任意一条直线”来代表“平面内所有直线”；在讨论函数奇偶性时，用定义域内任意数 来代表定义域内的所有数．(3)学生具有学习数学归纳法的心理需求，如学生希望证明通过归纳推理得到的与正整数有关的命题．

2．学生可能遇到的问题与困难．(1)对数学归纳法产生源头及其所要证明的问题的特征理解不到位。(2)形成和得到数学归纳法原理时，如何把无穷的不断重复的递推过程用有限的、一般性的步骤来代替学生会有困难。(3)对数学归纳法第二个步骤的作用，尤其是为什么可以根据归纳假设进行证明、如何利用归纳假设进行证明，学生往往难以理解。(4)由于数学思想的形成需要经历萌芽期、明朗期、成熟期，因此学生难以在一节课或几节课内深刻理解数学归纳法的精神实质。(5)学生初学数学归纳法时容易把注意力集中到第二步归纳推理上，而对第一步归纳奠基重视不够．

教学设计时，要基于学生已有的、模糊的数学归纳法的萌芽，充分考虑学生可能会遇到的困难，通过强化数学归纳法思想的形成过程，揭示数学归纳法的本质来突破难点．

三、目标和目标解析

1．经历与感受数学归纳法原理发现和提出的过程，体会其中蕴含的化无限问题为有限问题的思路与方法．因为用有限的、一般性的步骤来代替无限的逐个检验是思维方法上的创新与突破，因此数学归纳法的发现和完善是发展学生思维的极好材料．又因为数学思想方法难以通过传授和灌输来掌握，因此教学时应重在让学生在具体的情境中，亲身感悟、慢慢感悟、深刻感悟，而切不可操之过急．

2．理解数学归纳法原理及其本质，掌握它的基本步骤与方法．能较好地理解“归纳奠基”和“归纳递推”两者缺一不可，尤其是归纳假设在证明中的地位和作用；能体会到数学归纳法的实质和核心是递推．

3．能利用数学归纳法证明简单的、蕴含着递推关系的、与正整数有关的命题；能把数学归纳法与观察、归纳、演绎等其它思维方法结合在一起加以使用．

为实现以上目标，教学设计要基于数学归纳法的源头，基于学生头脑中蕴含的数学归纳法的萌芽，让学生在教师的指导下自己发现、归纳出数学归纳法，并不断完善和深化，以达到知识、能力、思维、情感教学相互渗透、相互促进之目的．

四、教学过程设计

(一) 提出问题，培育萌芽

问题1：粉笔盒有许多粉笔，第一个取出的是白色，第二个、第三个取出了也是白色，你能肯定这个粉笔盒的粉笔都是白色的吗？为什么？

[设计意图]让学生认识到第一次取出、第二次取出、第三次取出，以及后面的取出之间没有逻辑的、必然的联系．

问题2：等差数列 通项公式的推导：

……

你能确认()式成立吗？为什么？根据是什么？

[设计意图]让学生通过讨论认识和感受到由于 ，因此前一项结论成立必然有下一项结论成立，达到在认知上为学生形成数学归纳法奠基的目的．

问题3：前面学习归纳推理时，我们有一个问题没有彻底解决．即对于数列 ，已知 ， ( n=1,2,3…)，通过对n=1,2,3,4前4项的归纳，猜想出其通项公式 ，但却没有进一步的检验和证明．

(1)你能肯定这个结论成立吗？为什么？

[设计意图]问题2学生可能会觉得已经圆满解决，但问题3却能使学生真切、强烈地感受到证明和确认的必要，从而激发学生探究的欲望．但学生对问题3的理解会有两种情况：一是学生仅仅根据前4项的情况猜想出结果，这种猜想类似于前面摸球得到的猜想，有一定的道理但缺乏足够的依据；二是学生已经发现第1项与第2项、第2项与第3项、第3项与第4项之间内在的联系，即上一项结论成立必然导致下一项结论成立．这是两种不同的思维水平，教学时要引导学生从变化的角度、联系的角度思考问题，并根据学生的实际调整下面的教学．如果多数学生都已清楚第n项与第n+1项之间内在的联系，那下面的第(2)个小问题可以不要．

(2)如果对第5项，第6项，第7项继续验证，那情况会怎样？如果 ，那么是否有 ？

[设计意图]让学生切身感受到，由于正整数有无限多个，因此要证明关于全体正整数的命题，如果靠一个接一个验证下去，那永远无法完成．同时让学生在反复验证的过程中发现第n项与第n+1项之间内在的联系，为下面的归纳、抽象做好铺垫．