人教A版2003课标版《1.3.1二项式定理》新课标优质课教案设计

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新课标要求：用计数原理分析 ， ， 的展开式，归纳类比得到二项式定理，并能用计数原理证明．掌握二项展开式的通项公式，解决简单问题；学会讨论二项式系数性质的方法．根据新课标的理念及本节课的教学要求，制定了如下教学目标：

1.学生在二项式定理的发现推导过程中，掌握二项式定理及推导方法、二项展开式、通项公式的特点，并能运用二项式定理计算或证明一些简单的问题．

2.学生经历二项式定理的探究过程，体验“从特殊到一般发现规律，从一般到特殊指导实践，具体到抽象，归纳到猜想”的思想方法，获得观察、归纳、类比、猜想及证明的理性思维探究能力．

3.通过二项展开式的探究，培养学生积极主动、勇于探索、不断创新的精神，感受合作探究的乐趣，感受数学内在的和谐、对称美及数学符号应用的简洁美．

三、教学过程

（一）创设情境 引入课题

引入：通过“牛顿发现二项式定理”的历史引入课题．提出问题： ？ ？ ？那么 EMBED Equation.3 …… EMBED Equation.3 的展开式是什么？

（二）体验感知 探究归纳

1．归纳特点总结规律．

【设计意图】由特殊到一般的归纳总结，离不开大量特殊实例的观察．只有将大量具体实例进行整体和局部多方面的分析，才能得到接近一般性规律的结论．也只有对得出各种结论进行整合，才能让学生顺畅的抓住展开过程的两个要点，即项的结构和项的系数，才能让学生有目的的进一步进行探讨和分析．

2．项的结构特点．

（利用取球模型进一步帮助学生理解这些展开式的项的由来和特点）

师：根据多项式乘法法则， 的展开式就是从每个因式中任取一项相乘得到展开式的项．

【设计意图】多项式乘法法则是展开式的运算基础，同时也为用组合数表示系数创设情境．而学生对于多项式乘法法则的理论叙述不够顺畅．通过教师强调多项式乘法法则，让学生思维建立旧知识与新知识联系，为下面系数的确定做好铺垫．

3．项的系数特点．

师：根据多项式乘法法则，各项的形成过程就是有关计数原理的问题．而各项的系数，就是展开过程中该项出现的个数．

【设计意图】本节课的重点就是利用多项式的乘法法则和计数原理对展开式中各项进行分析．该问题的提出，符合学生的思维发展规律，能准确地检验学生对问题分析能力和解决方法的掌握，突出体现本节课的思维方法．

（三）知识建构 形成定理

EMBED Equation.3 —— 二项式定理

证明： EMBED Equation.3 是n个 EMBED Equation.3 相乘，每个 EMBED Equation.3 在相乘时，有两种选择，选a或选b，由分步计数原理可知展开式共有 EMBED Equation.3 项（包括同类项），其中每一项都是 EMBED Equation.3 EMBED Equation.3 的形式，对于每一项 EMBED Equation.3 ，它是由k个 EMBED Equation.3 选了b，n－k个 EMBED Equation.3 选了a得到的，它出现的次数相当于从n个 EMBED Equation.3 中取k个b的组合数 EMBED Equation.3 ，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理．

二项式定理的公式特征：

①展开式中每一项的次数都是 ；

②展开式共 项；

③按照字母 降幂排列，次数由 递减到0，字母 升幂排列，次数由0递增到 ；

④ 是展开式的第 项； 叫二项展开式的通项，用 表示．