【答案】

(1)＝1时，BC₁∥平面AB₁D₁，理由如下：

如图，此时D₁为线段A₁C₁的中点，连接A₁B交AB₁于O，连接OD₁.

由棱柱的定义知四边形A₁ABB₁为平行四边形，

所以点O为A₁B的中点．

在△A₁BC₁中，点O，D₁分别为A₁B，A₁C₁的中点，

所以OD₁∥BC₁.

又因为OD₁⊂平面AB₁D₁，BC₁⊄平面AB₁D₁，

所以BC₁∥平面AB₁D₁.

所以当＝1时，BC₁∥平面AB₁D₁.

(2)证明：由(1)知，当BC₁∥平面AB₁D₁时，点D₁是线段A₁C₁的中点，则有AD∥D₁C₁，且AD＝D₁C₁，

所以四边形ADC₁D₁是平行四边形．

所以AD₁∥DC₁.

又因为DC₁⊄平面AB₁D₁，AD₁⊂平面AB₁D₁，

所以DC₁∥平面AB₁D₁.

又因为BC₁∥平面AB₁D₁，BC₁⊂平面BC₁D，DC₁⊂平面BC₁D，DC₁∩BC₁＝C₁，

所以平面BC₁D∥平面AB₁D₁.