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平面与平面平行的性质

知识点详情

平面与平面平行的性质知识点包括平面与平面平行的性质定理、应用平面与平面平行性质定理的基本步骤、对面面平行性质定理的理解、线与面、面与面平行性质定理的综合应用、证明平行关系因推理不严密致误等部分,有关平面与平面平行的性质的详情如下:

平面与平面平行的性质定理

应用平面与平面平行性质定理的基本步骤

 

对面面平行性质定理的理解

(1)面面平行的性质定理的条件有三个:

αβ;②αγa;③βγb.

三个条件缺一不可.

(2)定理的实质是由面面平行得线线平行,其应用过程是构造与两个平行平面都相交的一个平面,由其结论可知定理可用来证明线线平行.

(3)面面平行的性质定理的推证过程应用了平行线的定义.

线与面、面与面平行性质定理的综合应用

(1)线与面、面与面平行的性质定理的主要作用是证明线线平行问题.而在空间平行的判定与证明时,应注意线与线、线与面、面与面平行关系的相互转化,这也是对基础知识的掌握程度和综合能力的提升体现,应灵活把握.

(2)线线、线面、面面平行关系的转化过程可总结如下:

证明平行关系因推理不严密致误

空间中的平行关系包括线线平行、线面平行和面面平行,其中证明线面平行常采用如下两种方法:

(1)利用直线与平面平行的判定定理,即由“线线平行”推出“线面平行”;

(2)利用面面平行的性质定理,即由“面面平行”推出“线面平行”.

证明面面平行的方法主要有:

(1)面面平行的判定定理;

(2)证明两个平面垂直于同一条直线.

总之,将空间问题转化为平面问题是解决立体几何问题的重要策略,其关键在于选择或添加适当的平面或辅助线.

典型例题
【第1题】  

αβaαbβ,下列几种说法中正确的是(  )

ab;②aβ内无数条直线平行;③aβ.

A.①②        

B.①②③

C.②③  

D.①③

【第2题】  

(1)平面α∥平面β,直线aα,直线bβ,下面三种情形:

ab;②ab异面;③ab相交,其中可能出现的情形有(  )

A.1种  

B.2种

C.3种   

D.0种

【第3题】  

给出三种说法:

①若平面α∥平面β,平面β∥平面γ,则平面α∥平面γ

②若平面α∥平面β,直线aα相交,则aβ相交;

③若平面α∥平面βPαPQβ,则PQα.

其中正确说法的序号是________.

【第4题】  

与两个相交平面的交线平行的直线和这两个平面的位置关系是(  )

A.都平行               

B.在这两个平面内

C.都相交               

D.至少与其中一个平面平行

【第5题】  

如图所示,两条异面直线BADC与两平行平面αβ分别交于BA点和DC点,MN分别是ABCD的中点.求证:MN∥平面α.

【第6题】  

如图,平面四边形ABCD的四个顶点ABCD均在平行四边形ABCD′所确定的一个平面α外,且AA′、BB′、CC′、DD′互相平行.

求证:四边形ABCD是平行四边形.

【第7题】  

在三棱柱ABC­A1B1C1中,点DAC的中点,点D1A1C1上的一点.

(1)当等于何值时,BC1∥平面AB1D1?

(2)当BC1∥平面AB1D1时,求证:平面BC1D∥平面AB1D1.

【第8题】  

如图,在正方体ABCD­A1B1C1D1中,点NBD上,点MB1C上,且CMDN.求证:MN∥平面AA1B1B.

【第9题】  

已知ab表示直线,αβγ表示平面,下列推理正确的是(  )

A.αβabαab

B.αβaabbαbβ

C.aβbβaαbααβ

D.αβαγaβγbab

【第10题】  

如果两个平面分别平行于第三个平面,那么这两个平面的位置关系是 (  )

A.平行   

B.相交

C.平行或相交   

D.以上都不对

【第11题】  

已知平面α∥平面βPαβ外一点,过点P的直线mαβ分别交于点AC,过点P的直线nαβ分别交于点BD,且PA=6,AC=9,PD=8,则BD的长为               .

【第12题】  

如图是长方体被一平面所截得的几何体,四边形EFGH为截面,则四边形EFGH的形状为             

【第13题】  

如图所示,P是△ABC所在平面外一点,平面α∥平面ABCα分别交线段PAPBPC于点A′,B′,C′.若的值.

【第14题】  

如右图,直三棱柱ABC­ABC′,点MN分别为ABBC′的中点.证明:MN∥平面AACC′.

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