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九年级上册《求最值问题》新课标教案优质课下载
两条线段差的最大值问题，一般根据三角形的两边之差小于第三边，当三点共线时，两条线段差的最大值就是第三边的长．如图3，PA与PB的差的最大值就是AB，此时点P在AB的延长线上，即P′．
解决线段和差的最值问题，有时候求函数的最值更方便，本讲不涉及函数最值问题．
图1 图2 图3
例题解析
例? 如图1-1，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点P是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC的周长最小，求点P的坐标．
图1-1
【解析】如图1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点A与点B对称，连结BC，那么在△PBC中，PB＋PC总是大于BC的．如图1-3，当点P落在BC上时， PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△ PAC的周长也最小．
由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)．
图1-2 图1-3
例?如图，抛物线 EMBED Equation.DSMT4 与y轴交于点A，B是OA的中点．一个动点G从点B出发，先经过x轴上的点M，再经过抛物线对称轴上的点N，然后返回到点A．如果动点G走过的路程最短，请找出点M、N的位置，并求最短路程．
图2-1
【解析】如图2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A关于抛 物线的对称轴对称的点A′，作点B关于x轴对称的点B′，连结A′B′与x轴交于点M，与抛物线的对称轴交于点N．
在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即点G走过的最短路程为10．根据相似比可以计算得到OM＝ EMBED Equation.DSMT4 ，MH＝ EMBED Equation.DSMT4 ，NH＝1．所以M( EMBED Equation.DSMT4 , 0)，N(4, 1)．
图2-2
例? 如图3-1，抛物线 EMBED Equation.DSMT4 与y轴交于点A，顶点为B．点P是x轴上的一个动点，求线段PA与PB中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出相应的点P的坐标．
图3-1
【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．
由抛物线的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．设P(x, 0)．
绝对值|PA－PB|的最小值当然是0了，此时PA＝PB，点P在AB的垂直平分线上（如图3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得 EMBED Equation.DSMT4 ．此时P EMBED Equation.DSMT4 ．
在 △PAB中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于AB了．如图3-3，当点P在BA的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值AB＝5．此时P EMBED Equation.DSMT4 ．
图3-2 图3-3
例? 如图4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，点P、Q、K分别为线段BC、CD、BD上的 任意一点，求PK＋QK的最小值．
图4-1
【解析】如图4-2，点Q关于直线BD的对称点为Q′，在△KPQ′中，PK＋QK总是 大于PQ′的．如图4-3，当点K落在PQ′上时，PK＋QK的最小值为PQ′．如图4-4，PQ′的最小值为Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝ EMBED Equation.DSMT4 ．
这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．