必修5《3.1基本不等式》优质课教案设计

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二、教学重点、难点

教学重点：基本不等式的证明和几何解释

教学难点：理解“当且仅当a=b时取等号”的数学内涵

三、学法与教学用具

先让学生观察常见的图形，通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质，可积极调动地学生的学习热情。定理的证明要留给学生充分的思考空间，让他们自主探究，通过类比得到答案

投影仪（多媒体教室）

四、教学设想

1、设置情境

(投影出图3.4-1)同学们,这是北京召开的第24届国际数学家大会的会标，大家想一想,你能通过这个简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗?

提问1:我们把“风车”造型抽象成图3.4-2.在正方形ABCD中有4个全等的直角三角形.设直角三角形的长为x、y，那么正方形的边长为多少？面积为多少呢？

生答： ﹨ MERGEFORMAT ， ﹨ MERGEFORMAT

提问2：那4个直角三角形的面积和呢？

生答：2xy

提问3：好，根据观察4个直角三角形的面积和正方形的面积，我们可得容易得到一个不等式， ﹨ MERGEFORMAT ﹨ MERGEFORMAT 2xy。什么时候这两部分面积相等呢？

生答：当直角三角形变成等腰直角三角形，即x=y时，正方形EFGH变成一个点，这时有 ﹨ MERGEFORMAT =2xy

2、新课讲授

（1）一般地，对于任意实数 x、y，我们有 ﹨ MERGEFORMAT ，当且仅当x=y时，等号成立。

提问4：你能给出它的证明吗？

(学生尝试证明后口答,老师板书)

证明: ﹨ MERGEFORMAT - ﹨ MERGEFORMAT = ﹨ MERGEFORMAT , 当 ﹨ MERGEFORMAT 时 ﹨ MERGEFORMAT >0 ,当x=y时，等号成立。

所以 ﹨ MERGEFORMAT

即 ﹨ MERGEFORMAT ，当且仅当x=y时，等号成立。

设x= ﹨ MERGEFORMAT ,y= ﹨ MERGEFORMAT ,则由这个不等式可以得出下列结论：

如果a,b都是非负数，那么 ﹨ MERGEFORMAT ，当且仅当a=b时，等号成立。

我们称上述不等式为基本不等式，