《3.2基本不等式与最大（小）值》集体备课教案设计

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教学目标：1.理解并掌握基本不等式的证明及其应用。

2. 探索基本不等式的证明过程，进一步领悟不等式 成立的条件，会用基本不等式解决简单最大（小）值问题。

3.体验探究的乐趣，培养学生主动运用数形结合的思想，去分析问题，解决问题和应用问题的能力。

教学重点：应用数形结合的思想理解基本不等式，并从不同的角度探索基本不等式 的证明过程。

教学难点：用基本不等式求最大值和最小值。

教学方法：引导，启发与讲授相结合

教学过程：

问题情境（5分钟）

北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表 中国人民热情好客，你能在这个图中找出一些相等关系或不等关系吗？

在正方形中有4个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边的长为，那么正方形的边长为 ，这样，4个直角三角形的面积和为 ，正方形的面积为 。由于正方形大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一个不等式 。当直角三角形为等腰直角三角形，即 ，正方形中空白处缩为一个点。这是有 。

一般的，对于任意实数 ，我们有 ，当且仅当 时，等号成立。

【设计意图】从实际生活中的图形为问题背景出发，利用相关面积贱存在的数量关系，抽象出不等式 ，为引出 做铺垫。

探求新知

问题探究：（8分钟）

①.你能给出不等式 的证明吗？

②.如果 ，我们利用 分别代替 ，可得 即

，能用几种方法证明。

③. 成立的条件是什么？

学生独立思考后，小组讨论，合作探究，教师归纳总结。

2.基本不等式： （当且仅当 时，等号成立）

说明： ①.成立的条件： 均为正数，和为定值时可以用来求乘积，当且仅当 时，等号成立

②.不等式变式： ，成立条件： 均为正数，和为定值时可以用来求乘积，当且仅当 时，等号成立

③. 两个不等式成立条件简称：一正，二定，三相等。

三、例题讲解：（30分钟）

例1：（1） 当 取什么值， 的值最小？最小值是多少？