必修5《3.2基本不等式与最大（小）值》公开课教案下载

必修5《3.2基本不等式与最大（小）值》公开课教案优质课下载

师：数学是一门语言学科，因而阅读技巧和方法与语文、英语学科有共同之处，但数学学科又有其自身的特点，因而阅读的技巧与方法就有所侧重和不同，也就是我们经常提倡地“数学地阅读数学”从而我们可以将文字语言、数学语言、符号语言进行相互转化。今天我们通过一道典型的数学阅读题来学习其阅读的方法与解题技巧。

展示题目：（贵阳市2017～2018学年度高一年级第二学期期末试卷）对于两个正数a和b，我们有多种不同的方式来定义不同的平均值。

①利用加法，令 ﹨ MERGEFORMAT ，得 ﹨ MERGEFORMAT ， 称 ﹨ MERGEFORMAT 为a和b的算术平均值。这是因为我们可以在一条直线上顺次取三个点A、B、C，使得AB=a，BC=b，取A、C的中点O，则点O分别到A、C的距离OA、OC 都是 ﹨ MERGEFORMAT 。

②利用乘法，令 ﹨ MERGEFORMAT ，可得 ﹨ MERGEFORMAT ，称 ﹨ MERGEFORMAT 为a和b的几何平均值。这是因为我们可以作一个正方形，使得其与长和宽分别为a和b的矩形面积相等，那么这个正方形的边③如果将a和b先取倒数为 ﹨ MERGEFORMAT 和 ﹨ MERGEFORMAT ，再求算术平均值为 ﹨ MERGEFORMAT ，再取倒数得 ﹨ MERGEFORMAT ，即 ﹨ MERGEFORMAT ，称 ﹨ MERGEFORMAT 为a和b的调和平均值。由于它是根据变量的倒数计算得到的，所以又称为倒数平均值。调和平均值可以用在相同的距离但速度不同时，平均速度的计算。如一般路程，前半段时速60公里，后半段时速30公里（两段路程相等），则其平均速度为两者的调和平均值，即时速40公里。

如图所示，以线段AB为直径作圆O，在线段AB上取点C使AC=a，CB=b，不妨设 ﹨ MERGEFORMAT ，过 C作AB的垂线交圆于点D，连接DO，作 ﹨ MERGEFORMAT 于点E，其中表示算术平均值的线段为OA和OB，表示几何平均值的线段是CD。

⑴通过计算判断在线段OC、OE、DE中表示a，b的调和平均值的线段是哪条？并由图直观比较a，b的调和平均值与几何平均值的大小；

⑵课后延伸拓展：类似地，对于三个正数a，b，c的算术平均数 ﹨ MERGEFORMAT 和几何平均数 ﹨ MERGEFORMAT ，有不等关系： ﹨ MERGEFORMAT 成立，当且仅当a=b=c时取等号。

请用此结论，求函数 ﹨ MERGEFORMAT 的最小值。

师：请问这道题的背景是什么？

生：不等式的概念。

师：本题主要考查了我们学过的哪些知识？

生：必修5第三章基本不等式。

师：通过阅读这道题你明白这道题该怎么做吗？

生：读完后，虽然知道考查的内容确不知道如何做。不知道题中需要我们做什么？怎么做？

师：当我们第一遍读题时，通过模糊识别等方法就要尝试解决，对题意进行初步理解。但初读时往往看到的是表面现象，因而结合“解决”需“再阅读”，通过探究、化归等方法进行“再解决”，从而进一步理解题意的本质与内涵，这样周而复始，直至“解决”。

师：请你们再认真阅读一遍。

生：老师，我好像有些明白了。

师：明白了吗？那么我们现在拿起笔，跟老师一起开始阅读，顺便将题中说到的数学内容书写出来。

师：第一句翻译成数学语言是什么？

生：老师是 ﹨ MERGEFORMAT 叫a、b的算术平均值。

师：不错。第二句呢？

生：老师， ﹨ MERGEFORMAT 叫a、b的几何平均值。

生：老师我知道第三句是说 ﹨ MERGEFORMAT 叫a、b的调和平均值。

师：大家都非常棒！那么这段阅读材料与我们将要解决的题目有什么关系呢？我们下面一起来阅读一下条件，看看能否帮助你们弄明白题中需要我们做什么。

（学生此时学习的积极性非常高）