湘教版必修四《第10章 不等式 10.3 基本不等式及其应用 习题3》优秀教案设计

06-10|必修4|习题3|湘教版

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湘教版必修四《第10章 不等式 10.3 基本不等式及其应用 习题3》优秀教案设计

二、讲授新课

1.探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图,在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样,4个直角三角形的面积的和是2ab,正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积,我们就得到了一个不等式:。

当直角三角形变为等腰直角三角形,即a=b时,正方形EFGH缩为一个点,这时有。

2.得到结论:一般的,如果

3.思考证明:你能给出它的证明吗?

证明:因为

所以,,即

4.1)从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的,如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ,可得,

通常我们把上式写作:

2)从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明:

要证 (1)

只要证 a+b (2)

要证(2),只要证a+b- 0 (3)

要证(3),只要证( - ) (4)

显然,(4)是成立的。当且仅当a=b时,(4)中的等号成立。

3)理解基本不等式的几何意义

探究:课本第110页的“探究”

在右图中,AB是圆的直径,点C是AB上的一点,AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE,连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗?

易证Rt△ACD∽Rt△DCB,那么CD2=CA·CB 即CD=.

这个圆的半径为,显然,它大于或等于CD,即,其中当且仅当点C与圆心重合,即a=b时,等号成立.

因此:基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”