湘教版必修四《第10章 不等式 10.3 基本不等式及其应用 习题3》优秀教案设计

湘教版必修四《第10章 不等式 10.3 基本不等式及其应用 习题3》优秀教案设计

二、讲授新课

1．探究图形中的不等关系

将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式：。

当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有。

2．得到结论：一般的，如果

3．思考证明：你能给出它的证明吗？

证明：因为

当

所以，，即

4．1）从几何图形的面积关系认识基本不等式

特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，

通常我们把上式写作：

2）从不等式的性质推导基本不等式

用分析法证明：

要证 (1)

只要证 a+b (2)

要证（2），只要证a+b- 0 （3）

要证（3），只要证（ - ） （4）

显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。

3）理解基本不等式的几何意义

探究：课本第110页的“探究”

在右图中，AB是圆的直径，点C是AB上的一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？

易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝.

这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立.

因此：基本不等式几何意义是“半径不小于半弦”