《2.3数学归纳法》优质课教案下载

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教学难点：能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．

教学方法：类比教学法.

教学过程：

一、问题情境：

1．多米诺骨牌（domino）是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌。玩时将骨牌按一定间距排列成行，轻轻碰倒第一枚骨牌，其余的骨牌就会产生连锁反应，依次倒下。

思考　这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？

只要满足以下两个条件，所有的多米诺骨牌都能倒下：

（1）__________________________________________________；

（2）__________________________________________________．

思考　你认为条件（2）的作用是什么？　

思考　如果条件（1）不要，能不能保证全部的骨牌都倒下？　

2．我们知道对于数列{an}，已知a1＝1，且 （n＝1，2，3…）通过对n＝1，2，3，4，前4项的归纳，我们可以猜想出其通项公式为 ，但归纳推理得出的猜想不一定成立，必须通过严格的证明．

要证明这个猜想，同学们自然就会从n＝5开始一个个往下验证，当n较小时可以逐个验证，但当n较大时，逐个验证起来会很麻烦，特别是证明n取所有正整数时，逐个验证是不可能的．能不能寻求一种方法，通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立．

思考？你认为证明数学的通项公式是 ，这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？

多米诺骨牌游戏原理通项公式 的证明方法（1）第一块骨牌倒下．（1）当n＝　　时，猜想成立（2）若第k块倒下时，则相邻的第k＋1块也倒下．（2）若当n＝　时，猜想成立，即 　　 ，则当n＝　　时，猜想也成立，即　　　　　．根据（1）和（2），可知不论有多少块骨牌，都能全部倒下．根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立．证明：（1）　　　　　　　　　　　　　　　　．

（2）假设　　　　　　　　　　　　　　 ，

那么 ，

即n＝k＋1 时猜想也成立．

根据（1）和（2），可知对任意的正整数n，猜想都成立．

这样，对于猜想，由已知n＝1成立，就有n＝2成立；n＝2成立，就有n＝3也成立；n＝3成立，就有n＝4也成立……

所以，对任意的正整数n ，猜想都成立，即数列的通项公式是 ．

3．小结．

数学归纳法的定义：

一般地，证明一个与正整数有关的命题，可按下列步骤进行：

（1）（归纳奠基）证明当n取第一个值n0时命题成立．