苏教2003课标版《2.3数学归纳法》新课标优质课教案设计

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探究数学归纳法的发现，理解证明中的第二个步骤

【教学设计】

〖问题引入〗

用归纳推理得到许多结论，如：“等差数列{ }中的通项公式为 .” “正整数平方和公式： ”等.

问题1 这两个归纳推理所得的结论有什么共同点？怎样证明这两个结论？

〖感知数学〗

多米诺骨牌游戏是一种码放骨牌的游戏，码放时保证相邻的两块骨牌，若前一块倒下，则一定导致后一块骨牌也倒下.只要推倒第一块骨牌，就可以导致第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就可导致第三块骨牌倒下……最后，不论有多少块骨牌，都能全部倒下。

问题2 多米诺骨牌游戏中，要使所有的骨牌都倒下，需要满足哪些条件？为什么满足这些条件就可以了？

〖建构数学〗

问题3 对于一个与正整数有关的命题，借鉴骨牌游戏的启示，如何保证该命题对于所有的正整数都成立呢？

数学归纳法公理：

问题4 数学归纳法为什么能保证命题对于所有大于等于n0的正整数都成立?

〖数学应用〗

例1 用数学归纳法证明：等差数列{ }中， 为首项， 为公差，则通项公式为

.

思考 结合上述证明，分析为什么完成（1）、（2）两步，就能说明命题对任意正整数都成立？

练习 用数学归纳法证明：

.

例2 分析下列两个证明中的错误：

问题1 设 ，求证： .

证明：假设当 时等式成立，即 ，

那么，当 时，有

= = ，

因此，对于任意 ，等式成立。

问题二 对于首项为 ，公比为 的等比数列，其前n项和为 .