人教A版2003课标版《1.3空间几何体的表面积与体积（通用）》新课标优质课教案设计

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过程与方法：学生建立空间感，体会转化的数学思想方法。

情感态度与价值观：完善学生的知识体系，增进学生对数学的信心和兴趣。

教学重点：

学会转化的思想方法，学会举一反三。

教学难点：

学会构造模型，而使用通法求解。

教学过程：

知识梳理：

1、正方体或长方体的外接球的球心在其体对角线的中点，其半径为，其中a、b、c为长方体的长、宽、高。

2、若上下底面有外接圆的直棱柱，则它的外接球的球心是上下底面外接圆的圆心连线的中点，其半径为（R为外接球的半径，r为外接圆的半径，h为侧棱长）

3、正四面体、三条侧棱两两垂直或三个侧面两两垂直、四个面都是直角三角形的三棱锥，对棱相等的三棱锥，都可以补成长方体或正方体。

4、若三棱锥中，有两个共斜边的直角三角形，则这条棱的中点就是外接球的球心，棱长是外接球的直径。

如果三棱锥无法构造成正方体或长方体，该如何求解其外接球的表面积和体积问题呢？一起来探讨一下。

典型例题：三棱锥P—ABC，AC⊥BC，PB⊥平面ABC，AC=BC=PB=2，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。

简解：第一步：找△ABC外接圆的圆心O’，过O’做△ABC的垂线，垂线上有球心O，根据,得到；

第二步：设，则，因为外接球的半径，所以只需，即，

过P做平面ABC的垂线，即PB，过O做OF⊥PB，则，

所以，所以，即

所以外接球的半径，外接球的表面积

总结：这种方法我称它为双垂线模型，其主要步骤1、找底面外接圆的圆心，即△ABC的外心，过外心做底面的垂线，设出球心；2、过顶点做垂线（这里的顶点是相对底面来说的），找等量关系，列方程。

练习1：三棱锥P—ABC，AC⊥BC，，且P在平面ABC上的正投影在直线AB上，AC=BC=2，，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。

练习2：三棱锥P—ABC，AC⊥BC，平面PBC⊥平面ABC，且AC=BC=PC=PB=2，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。

练习3：三棱锥P—ABC，∠ACB=120°，PC⊥平面ABC，AC=BC=PC=2，求三棱锥P—ABC外接球的表面积。

练习4：四棱锥P—ABCD，底面ABCD为正方形，AB=2，PA=PB=PC=PD=，求四棱锥P—ABCD外接球的表面积。

小结：这节课主要是练习求解外接球的通法，即双垂线模型的应用，熟悉双垂线模型的具体步骤，1、找底面外接圆的圆心，即△ABC的外心，过外心做底面的垂线，设出球心；2、过顶点做垂线（这里的顶点是相对底面来说的），找等量关系，列方程。