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师梦圆初中数学教材同步沪科版八年级下册18.2 勾股定理的逆定理下载详情
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《18.2勾股定理的逆定理》集体备课教案优质课下载

一、情境导入

据说几千年前的古埃及人就已经知道,在一根绳子上连续打上等距离的13个结,然后用钉子将第1个与第13个结钉在一起,拉紧绳子,再在第4个和第8个结处各钉上一个钉子,这样围成的三角形中最长边所对的角就是直角,你知道为什么吗?

二、合作探究

探究点一:勾股定理的逆定理

【类型一】 利用勾股定理的逆定理判断直角三角形

(1)在△ABC中,∠A=20°,∠B=70°;

(2)在△ABC中,AC=7,AB=24,BC=25;

(3)△ABC的三边长a、b、c满足(a+b)(a-b)=c2.

解析:(1)已知两角可以求出另外一个角;(2)使用勾股定理的逆定理验证;(3)将式子变形即可使用勾股定理的逆定理验证.

解:(1)在△ABC中,∵∠A=20°,∠B=70°,∴∠C=180°-∠A-∠B=90°,即△ABC是直角三角形;

(2)∵AC2+AB2=72+242=625,BC2=252=625,∴AC2+AB2=BC2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形;

(3)∵(a+b)(a-b)=c2,∴a2-b2=c2,即a2=b2+c2.根据勾股定理的逆定理可知,△ABC是直角三角形.

方法总结:在运用勾股定理的逆定理时,要特别注意找到最大边,定理描述的是最大边的平方等于另外两边的平方和.

【类型二】 利用勾股定理的逆定理求角的度数

解析:根据已知条件PA=3,PB=4,PC=5,易知PA2+PB2=PC2,但PA、PB、PC不在同一个三角形中,可构造边长分别为3、4、5的直角三角形来解决问题.

解:在△ABC所在的平面内,以A为顶点,AC为边在△ABC外作∠DAC=∠PAB,且AD=AP.连接DC,PD,则△ADC≌△APB,所以DC=PB,∠APB=∠ADC.因为PA=AD,∠PAD=∠BAC=60°,所以△APD为等边三角形.所以PD=PA=AD=3,∠ADP=60°.又因为DC=BP=4,PC=5,且PD2+DC2=32+42=52=PC2,所以△PDC为直角三角形且∠PDC=90°.所以∠APB=∠ADC=∠ADP+∠PDC=60°+90°=150°.

方法总结:解答本题的关键是构建全等三角形.把长度分别为3、4、5的线段转化为同一个三角形的三边,利用勾股定理的逆定理判断此三角形是直角三角形,进而求出角度.

【类型三】 利用勾股定理的逆定理解决面积问题