《3.4.1基本不等式的证明》新课标优质课教案设计

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【课前准备】两张大小不同的正方形纸片

【问题情境】

介绍下2002年在北京举办的世界数学家大会的会标“弦图”，它既标志着中国古代的数学成就，又像一只转动着的风车，欢迎世界各地的数学家们．

【学生活动】

探究课本中第96页关于天平称量实验中如何得到物体的实际质量

把一个物体放在天平的一个盘子上，在另一个盘子上放砝码使天平平衡，称得物体的质量为 EMBED Equation.3 .如果天平制造得不精确，天平的两臂长略有不同（其他因素不计），那么 EMBED Equation.3 并非物体的实际质量.不过，我们可以作第二次测量：把物体调换到天平的另一个盘上，此时称得物体的质量为 EMBED Equation.3 .

问题1、如何合理的表示物体的质量？

算术平均数的定义：

几何平均数的定义：

问题2、两个正数 EMBED Equation.3 、 EMBED Equation.3 的算术平均数与几何平均数之间具有怎样的大小关系呢？

验证实验：

请拿出两张大小不同的正方形的纸，并把它们折成两个等腰直角三角形.假设两个正方形 EMBED Equation.3 计算一下两个三角形的面积.如何对这两个等腰直角三角形进行拼接和折叠构造一个分别以 EMBED Equation.3 长和宽的矩形，它的面积是多少？你能发现什么结论？

【建构数学】

猜想结论：

问题3、你能证明以上结论吗？

证法一：（比较法）

证法二：（分析法）

证法三：（综合法）

问题4、基本不等式成立的条件范围是什么？

问题5、基本不等式可以有怎样的变形？

【数学应用】

例1、设 EMBED Equation.3 为正数，证明下列不等式：

（1） EMBED Equation.3 ． （2） EMBED Equation.3 ；

变式：若 EMBED Equation.3 都为负数，则分别比较 EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 ； EMBED Equation.3 与 EMBED Equation.3 的大小.

例2 已知函数 EMBED Equation.3 ， EMBED Equation.3 ，求此函数的最小值.