《3.2等比数列的前n项和》优质课教案设计

《3.2等比数列的前n项和》教案优质课下载

(1)公式：Sn＝ eq ﹨b﹨lc﹨{﹨rc﹨ (﹨a﹨vs4﹨al﹨co1(﹨f(a1?1－qn?,1－q)＝﹨f(a1－anq,1－q)?q≠1?,na1?q＝1?)) .

(2)注意：应用该公式时，一定不要忽略q＝1的情况．

2．等比数列前n项和公式的变式

若{an}是等比数列，且公比q≠1，则前n项和Sn＝ eq ﹨f(a1,1－q) (1－qn)＝A(qn－1)．其中A＝ eq ﹨f(a1,q－1) .

[情境导学]

问题　一天，小林和小明做“贷款”游戏，规定：在一月(30天)中小明第一天贷给小林1万元，第二天贷给小林2万元……以后每天比前一天多贷给小林1万元．而小林按这样的方式还贷：第一天还1分钱，第二天还2分钱，第三天还4分钱……以后每天还的钱是前一天的2倍，30天后小林得到的钱一定比小明多吗？

探究点一　等比数列前n项和公式的推导

思考1　设30天后小林得到T30(万元)，小明得到S30(分)，你能用数据表示出T30、S30吗？

答　T30＝1＋2＋3＋…＋30＝ eq ﹨f(?1＋30?×30,2) ＝465(万元)，

S30＝1＋2＋22＋…＋229(分)．

思考2　如何计算S30＝1＋2＋22＋…＋229?

答　思路一　S30＝1＋2＋22＋…＋229＝1＋2(1＋2＋22＋…＋228)＝1＋2(S30－229)，

S30－2S30＝1－230，S30＝230－1.

思路二　S30＝1＋2＋22＋…＋229，①

2S30＝2＋22＋…＋229＋230.②

②－①，得S30＝230－1.

由于230－1＝1 073 741 823(分)＝1 073.741 823(万元)>465(万元)，

所以小明得到的钱更多．

思考3　根据思考2中的求和思路，你能求出等比数列的前n项的和吗？

答　思路一　由Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an，

得Sn＝a1＋a1q＋a2q＋…＋an－1q

＝a1＋q·(a1＋a2＋…＋an－1)

＝a1＋q·(Sn－an)；

从而得(1－q)·Sn＝a1－anq.

当q≠1时，Sn＝ eq ﹨f(a1－anq,1－q) ；当q＝1时，Sn＝na1.