北师大2011课标版《猜想、证明与拓广》优质课教案设计

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二、教学重点难点

重点：探究“任意给定一个矩形.是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍”，从而获得解决问题的方法和途径.

难点：教学过程从特殊到一般，启发学生综合运用一元二次方程、方程组、不等式等知识发现具有一般性的结论，寻求一般性的解决方法.

三、教学方法： 自主探索——合作交流.

四、教具准备：多媒体演示

五、教学过程：

探究活动一：正方形的“倍增”问题

问题1：当任意给定一个正方形时，是否存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍？

（1）提出猜想：

提出问题后引导学生思考，教师板书引导学生从画图、特殊值等角度入手研究，得到猜想。当任意给定一个正方形时，不存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍

（2）证明猜想：

通过学生展示，我们由一些特例得到一个猜想：当任意给定一个正方形时，不存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍，但这一猜想对任意正方形一定成立吗？怎样验证猜想的正确性？

方法1、设给定的正方形的边长为a，则其周长为4a,面积为a2,周长扩大两倍后为8a,例则其边长应为 2a,此时面积应为4a2，它不是已知给定的正方形的面积的2倍.所以不存在这样的正方形。或是先考虑面积扩大为原来的两倍为2a2 ，则边长应为，此时周长应为4 ，不是4a的两倍，无论从哪个角度考虑，都不存在这样的正方形。

方法2、由于任意两个正方形都是相似的，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.所以周长比和面积比不可能同时为2

结论

特殊值

画 图

图形相似

代数运算

猜想

结论

结论一：当任意给定一个正方形时，不存在另一个正方形，它的周长与面积分别是已知正方形周长和面积的2倍

归纳小结：

（3）拓广猜想：

根据前面得到的结论你还能提出什么问题？