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人教2011课标版《13.4课题学习最短路径问题》优质课教案下载
教学过程：一、课件出示课题
二、创设情景 引入课题
请同学们朗读学案1，前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究有趣的最短路径问题。
二、自主探究 合作交流 建构新知
活动1:尝试解决数学问题
问题1 : 如图,点A,B 在直线l 的两侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB 的和最小?
连接AB,交直线l于C点。（两点之间线段最短）
问题2 如图,点A,B 在直线l 的同侧,点C 是直线上的一个动点,当点C 在l 的什么位置时,AC 与CB的和最小?
师生活动:学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充。如果学生有困难,教师可作如下提示。作法:(1)作点B 关于直线l 的对称点B';(2)连接AB',与直线l 相交于点C,则点C 即为所求。.如图所示:教师黑板作图。
归纳：求直线同侧的两点与直线上一点所连线段的和最小的问题,只要找到其中一个点关于这条直线的对称点,连接对称点与另一个点,则与该直线的交点即为所求.
问题3 你能用所学的知识证明AC +BC最短吗?
教师展示分析问题的过程，具体证明过程略。
教师提示学生朗读学案1、2。
方法提炼:将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”.
问题4造桥选址问题
如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN.桥建在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假定河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)
思维分析:1.如图假定任选位置造桥MN,连接AM和BN,从A到B的路径是AM+MN+BN,那么怎样确定什么情况下最短呢?
2.利用线段公理解决问题:我们遇到了什么障碍呢?
思维点拨:在不改变AM+MN+BN的前提下把桥转化到一侧呢?什么图形变换能帮助我们呢?(估计有以下方法)1.把A平移到岸边.2.把B平移到岸边.3.把桥平移到和A相连.4.把桥平移到和B相连.
教师:上述方法都能做到使AM+MN+BN不变呢?请检验.
1、2两种方法改变了.怎样调整呢?把A或B分别向下或上平移一个桥长,那么怎样确定桥的位置呢?
问题解决:如图,平移A到A1,使AA1等于河宽,连接A1B交河岸于N.作桥MN,此时路径AM+MN+BN最短. 分析原因:另任作桥M1N1,连接AM1,BN1,A1N1.证明过程略，如图所示:
教师提示学生朗读学案3.
学生练习： 如图,一个旅游船从大桥AB 的P 处前往山脚下的Q 处接游客,然后将游客送往河岸BC 上,再返回P 处,请画出旅游船的最短路径.
问题分析:由于两点之间线段最短,所以首先可连接PQ,线段PQ 为旅游船最短路径中的必经线路.将河岸抽象为?条直线BC,这样问题就转化为“点P,Q 在直线BC 的同侧,如何在BC上找到一点R,使PR与QR 的和最小”.