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同角三角函数的基本关系

知识点详情

同角三角函数的基本关系知识点包括同角三角函数基本关系式、由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类、三角函数式化简的本质及关注点、对三角函数式化简的原则、证明三角恒等式的常用方法、角关系式与方程思想的“联袂”等部分,有关同角三角函数的基本关系的详情如下:

同角三角函数基本关系式

(1)平方关系:sin2α+cos2α=1;

(2)商数关系:

(3)文字叙述:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α正切.

由某角的一个三角函数值求它的其余各三角函数值的依据及种类

(1)依据:,要根据角α所在的象限,恰当选定根号前面的正负号,而在使用时,不存在符号的选取问题.

(2)分类:

①如果已知三角函数的值,且角的象限已被指定时,则只有一组解;

②如果已知三角函数的值,但没有指定角在哪个象限,那么由已知三角函数值确定角可能在的象限,然后再求解,这种情况一般有两组解;

(3)sin θ±cos θ与sin θcos θ相互转化方法:(sin θ±cos θ)2=1±2sin θcos θ.

三角函数式化简的本质及关注点

(1)本质:三角函数式化简的本质是一种不指定答案的恒等变换,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则.

(2)关注点:不仅要熟悉和灵活运用同角三角函数的基本关系式,还要熟悉并灵活应用这些公式的等价变形,如sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α,1=sin2α+cos2α,sin α=tan α·cos α

对三角函数式化简的原则

(1)使三角函数式的次数尽量低.

(2)使式中的项数尽量少.

(3)使三角函数的种类尽量少.

(4)使式中的分母尽量不含有三角函数.

(5)使式中尽量不含有根号和绝对值符号.

(6)能求值的要求出具体的值,否则就用三角函数式来表示.

证明三角恒等式的常用方法

证明恒等式的过程就是分析、转化、消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法有:

(1)从一边开始,证明它等于另一边,遵循由繁到简的原则.

(2)证明左右两边等于同一个式子.

(3)证明左边减去右边等于零或左、右两边之比等于1.

(4)证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.

同角关系式与方程思想的“联袂”

在同角三角函数关系中,sin2α+cos2α=1可变换成(sin α+cos α)2-2sin αcos α=1,其中sin α+cos α与sin αcos α很容易与一元二次方程中根与系数的关系产生联系.若以sin α,cos α为两根构造一元二次方程,则可利用上述关系解决相关问题.

典型例题
【第1题】  

化简 的结果是(  )

A.cos

B.-sin

C.sin

D.-cos

【第2题】  

已知3sin α+cos α=0,则tan α=________.

【第3题】  

若sin θ+cos θ,则sin θcos θ=________.

【第4题】  

已知tan α=-2,求sin α,cos α的值.

【第5题】  

已知cos α,求sin α,tan α的值

【第6题】  

已知tan α=3,求:①

②sin2α-3sin αcos α+1.

【第7题】  

化简下列各式.

【第8题】  

化简:.

【第9题】  

求证:2(1-sin α)(1+cos α)=(1-sin α+cos α)2.

【第10题】  

求证:sin4α-cos4α=2sin2α-1.

【第11题】  

已知方程8x2+6kx+2k+1=0的两个实根是sin θ和cos θ.

(1)求k的值;

(2)求tan θ的值.

【第12题】  

已知sin θ+cos θ,且0<θ<π,求sin θ-cos θ.

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