函数模型的应用及数学建模 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 知识点详情 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
函数模型的应用及数学建模知识点包括函数模型、对数函数应用题中的基本类型和求解策略、函数的建模与拟合的步骤、数学建模的实施与过程等部分，有关函数模型的应用及数学建模的详情如下： 函数模型(1)指数型函数模型：y＝a·bx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)． (2)对数型函数模型：y＝alogbx＋c(a，b，c为常数，b>0且b≠1，a≠0)． (3)用函数建立数学模型解决实际问题的基本过程如下：
对数函数应用题中的基本类型和求解策略(1)基本类型：有关对数函数的应用题一般都会给出函数解析式，然后根据实际问题再求解． (2)求解策略：首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义． 函数的建模与拟合的步骤函数拟合的一般步骤： (1)由原始数据，画出散点图． (2)通过散点图，找出最贴近实际的直线或曲线． (3)根据所学知识，求出拟合直线或曲线的解析式． (4)利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测，为决策和管理提供依据. 函数模型是不确定的解题步骤 (1)作图：根据已知数据，画出散点图； (2)选择函数模型：一般是根据散点图的特征，联想哪些函数具有类似图象特征，找几个比较接近的函数模型尝试； (3)求出函数模型：求出(2)中找到的几个函数模型的解析式； (4)检验：将(3)中求出的几个函数模型进行比较、验证，得出最合适的函数模型； (5)利用所求出的函数模型解决问题． 数学建模的实施与过程用函数构建数学模型解决实际问题时，首先要对实际问题中的变化过程进行分析，析出其中的常量、变量及其相互关系；明确其运动变化的基本特征，从而确定它的运动变化类型．然后根据分析结果，选择适当的函数类型构建数学模型，将实际问题化归为数学问题；再通过运算、推理，求解函数模型．最后利用函数模型的解说明实际问题的变化规律，达到解决问题的目的．在构建函数模型时，经常会遇到没有现成数据可用的情况，这时就需要先收集数据． 1．观察实际情景，发现和提出问题 2．收集数据 3.分析数据 4．建立模型 5．检验模型 6．求解问题 7．撰写研究报告 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| 典型例题 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
【第1题】
某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……现有2个这样的细胞，分裂x次后得到细胞的个数y与x的函数关系式是( ) A.y＝2x B.y＝2x－1 C.y＝2x D.y＝2x＋1 【第2题】
某林场计划第一年造林10 000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林( ) A.14 400亩 B.172 800亩 C.17 280亩 D.20 736亩 【第3题】
已知某工厂生产某种产品的月产量y与月份x满足关系y＝a·(0.5)x＋b，现已知该厂今年1月、2月生产该产品分别为1万件、1.5万件．则此厂3月份该产品的产量为________． 【第4题】
某地2004年年底人口为500万，人均住房面积为6平方米，若该地区的人口年平均增长率为1%，要使2015年年底该地区人均住房面积至少为7平方米，平均每年新增住房面积至少为________万平方米(精确到1万平方米，参考数据：1.019≈1.093 7,1.0110≈1.104 6，1.0111≈1.115 7)． 【第5题】
燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行速度可以表示为函数 (1)求燕子静止时的耗氧量是多少个单位； (2)当一只燕子的耗氧量是80个单位时，它的飞行速度是多少？ 【第6题】
设在海拔x m处的大气压强是y Pa，y与x之间的函数关系式是y＝cekx，其中c，k为常量，已知某地某天海平面上的大气压为1.01×105 Pa,1 000 m高空的大气压为0.90×105 Pa，求600 m高空的大气压强(结果保留3位有效数字)． 【第7题】
电声器材厂在生产扬声器的过程中，有一道重要的工序：使用AB胶粘合扬声器中的磁钢与夹板．长期以来，由于对AB胶的用量没有一个确定的标准，经常出现用胶过多，胶水外溢或用胶过少，产生脱胶，影响了产品的质量．经过实验，已有一些恰当用胶量的具体数据如下表：
现在请提出一个既科学又简便的方法来确定磁钢面积与用胶量的关系． 【第8题】
目前某县有100万人，经过x年后为y万人．如果年平均增长率是1.2%，请回答下列问题： (1)写出y关于x的函数解析式； (2)计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到120万(精确到1年)． (参考数据：(1＋1.2%)10≈1.127，(1＋1.2%)15≈1.196，(1＋1.2%)16≈1.210) 【第9题】
某蔬菜基地种植青瓜，由历年市场行情得知，从4月1日起的300天内，青瓜的种植成本Q(万元)与上市时间t(天)的关系如表所示：
模拟函数可以选用二次函数Q＝a(t－150)2＋b(a，b为常数，且a≠0)，或一次函数Q＝kt＋m(k，m为常数，且k≠0)．已知种植成本Q＝112.5万元时，上市时间t＝200天，则用以上哪个函数作为模拟函数较好？并说明理由． 【第10题】
18世纪70年代，德国科学家提丢斯发现金星、地球、火星、木星、土星离太阳的平均距离(天文单位)如下表所示：
他研究行星排列规律后预测在火星与木星之间应该有一颗大的行星，后来果然发现了一颗谷神星，但不算大行星，它可能是一颗大行星爆炸后的产物，请你推测谷神星的位置．在土星外面的是什么星？它与太阳的距离大约是多少？ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(单位：m/s)，其中Q表示燕子的耗氧量．